Вектор

В своей сути вектор является ничем иным, как математическим объектом, который содержит в себе набор чисел упакованных вместе.

Практика $\rightarrow$ Этот набор чисел может представлять какие-либо данные, например изменение показаний какого-либо датчика за определённый промежуток времени, набор значений параметров персонажа в видео игре или даже описывать форму звуковой волны.

\mathbf{temperature} = \begin{pmatrix} +18 \\ +19 \\ \vdots \\ +22 \end{pmatrix} \qquad \mathbf{characterSkillsLevels} = \begin{pmatrix} 80 \\ 100 \\ \vdots \\ 20 \end{pmatrix}

Мерность вектора является как раз тем самым значением, которое указывает на то, сколько чисел себе он может содержать. А теперь последует более формальное определение, а также описание различных возможностей и операции, которые мы можем проводить над векторами.

Определение вектора

Пусть $m \geq 0$ натуральное число. m-мерный координатный вектор - это элемент $\mathbb{R}^m$ , записанный как:

\mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_m \end{pmatrix}

Нулевой вектор

Нулевой вектор обозначается как $\mathbf{0}$ . Он уникален и существующет в $\mathbb{R}^0$ .

\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}

Сложение векторов

Пусть

\mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_m \end{pmatrix}, \mathbf{w} = \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ \vdots \\ w_m \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^m.

Сумма $\mathbf{v}$ и $\mathbf{w}$ это

\mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_1 + w_1 \\ v_2 + w_2\\ \vdots \\ v_m + w_m \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^m

Скалярное произведение

Пусть $\lambda \in \mathbb{R}$ и $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_m \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^m$ , тогда

\lambda \mathbf{v} = \begin{pmatrix} \lambda v_1 \\ \lambda v_2 \\ \vdots \\ \lambda v_m \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^m

является скалярным произведением $\mathbf{v}$ .

Введение Линейные комбинации