Множество

Множество является набором элементов, в котором не важен порядок и все элементы уникальны. Более того множества могут быть как конечными, так и бесконечными.

Нотация

Множество заключает элементы внутри фигурных скобок. Элементами могут быть любые математические объекты, и не только:

Чтобы иногда не перечислять все элементы множества — например, при пропуске определенного диапазона элементов, когда важно отобразить общую структуру или при работе с бесконечными множествами, — применяется нотация с многоточием.

Эта запись обозначает множество всех целых чисел от $1$ до $n$.

Переменные: Множества часто обозначаются заглавными буквами, иногда каллиграфическими буквами, например:

Такие обозначения используются как переменные, чтобы в дальнейшем можно было ссылаться на множество, не перечисляя каждый раз все его элементы.

Примеры множеств

Множество, содержащее в себе города

Множество, содержащее реальные числа:

Множество, содержащее иррациональные числа:

Множество, содержащее эмодзи:

Без порядка

Как уже было ранее сказано, для множеств порядок не важен, поэтому следующие два множества являются идентичными:

Уникальность элементов

Важнейшее качество множеств, которое часто упускается из виду при начале работы с ними — это уникальность элементов, содержащихся в них. Cледующие два множества также являются идентичными, но в этот раз по причине уникальности его элементов:

Повторяющиеся элементы не добавляют новой информации, поскольку в множестве каждый элемент либо присутствует, либо отсутствует. Следовательно, оба множества содержат одни и те же элементы и потому являются одним и тем же множеством. Об этом позже более подробно.

Принадлежность к множеству

Когда мы хотим указать, что некоторый объект является элементом множества то используется символ принадлежности:

Символ легко запоминается, потому что он представляет букву E - словно говоря element of... . К примеру, $1$ является элементом $\{1, 2, 3\}$, поэтому мы можем написать:

Когда мы хотим показать обратное, то используется символ $\not \in$, к примеру:

Фундаментальные множества чисел

В математике существуют фундаментальные множества, чисел, которые глобально определены и используются повсеместно. Более того, для каждого из таких множеств сущесвуют переменные, которые используются для их обозначения. Далее будут перечислены все фундаментальные числовые множества.

Натуральные числа

Обозначающий символ: $\Large \mathbb{N}$.

Числа используемые при счете. В мире computer science мы считаем от $0$, поэтому множество натуральных чисел начинается с $0$ и продолжается до бесконечности.

Целые числа

Обозначающий символ: $\Large \mathbb{Z}$.

Все целые числа, включая негативные. Это некое расширение натуральных чисел, где теперь у нас доступен негативный диапазон значений.

Рациональные числа

Обозначающий символ: $\Large \mathbb{Q}$.

Числа, которые можно представить в виде дроби

гдe $p \in \mathbb{Z}$, $q \in \mathbb{Z}$ и $q \neq 0$. Иначе говоря, это все числа, получающиеся в результате деления одного целого числа на другое. Например:

Ограничение $q \neq 0$ необходимо, так как деление на ноль математически не определено: при $q=0$ нарушается фундаментальное правило арифметики, выраженное в том что деление может быть представлено умножением и наоборот,

Действительные (реальные) числа

Обозначающий символ: $\Large \mathbb{R}$.

Множество действительных чисел включает все вышеописанные множества $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}$ и дополняет их иррациональными числами, такими как $\pi, \ e$ или $\phi$.

Комплексные числа

Обозначающий символ: $\Large \mathbb{C}$.

Множество комплексных чисел включает все ранее рассмотренные множества $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$ и дополняет их числами вида

где $a, \ b \in \mathbb{R}$, а $i$ - мнимая единица.

Мнимая единица определена, как число, которое при возведении в квадрат равняется $-1$:

Универсальный метод нотации множеств

До этого момента мы в основном работали с множествами, где было легко перечислить все их элементы, однако в некоторых случаях это невозможно или не достаточно элегантно. По этой причине мы можем использовать описательную (или условную) нотацию множеств:

Данная запись читается так:
"$A$ определено как множество всех таких $z$, для которых существует натуральное число $k$, такое, что $z = 2k$."
Это ни что иное, как множество всех чётных натуральных чисел.

Если более абстрактно и глобально, то описательная нотация говорит нам:

Здесь символ $:=$ читается как «определено как» и используется для введения нового объекта, а символ $\mid$ читается как «таких, что» и отделяет элемент множества от условия, которому он должен удовлетворять. Часто также используется символ $:$ вместо $|$ , что не меняет ни функцию ни смысл нотации.

Возвращаясь к фундаментальным множествам чисел, с помощью описательной нотации мы также могли бы описать множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$

Подмножества

Если мы возьмем отдельные элементы какого-либо множества и сделаем из них новое множество, то оно будет являться подмножеством изначального множества. Для обозначения подмножества мы используем символ:

Например

так как $\{1, 2\}$ состоит из элементов $\{1, 2, 3\}$.

Более формально мы могли бы определить подмножество, как

Здесь

• $\forall a$ читается как "для всех $a$";
• $\Rightarrow$ обозначает логическое следование, то есть утверждение работает лишь в одном направлении.

Наконец, выражая это натуральным языком:

"Для всех элементов A это правда, что они являются также элементами $B$".

Иерархия числовых множеств

Ссылаясь вновь на фундаментальные числовые множества, мы можем выстроить иерархию этих множеств, используя символику подмножеств:

Строгое подмножество

Когда подмножество не может быть идентично множеству, из которого оно создано, то мы используем символ:

Этот символ подобен $<$ в сравнении чисел, но в данном случае применим именно к множествам.

Например:

Однако,

Формально определяя,

Строгая иерархия числовых множеств

Для фундаментальных числовых множеств отношение строгого подмножества отражает их вложенность более точно:

Изображение визуально отображающее вложенность числовых множеств.