Контент
Линейная Алгебра
Вектор
Линейная (не)зависимость

Линейная (не)зависимость

Определение линейной зависимости

Векторы линейно зависимы если хотя бы один из них является линейной комбинацией других векторов:

vk=∑j=1j≠knλjvj\mathbf{v}_k = \sum^{n}_{\substack{j=1 \\ j \ne k}} \lambda_j \mathbf{v}_j

Альтернативные определения линейной зависимости векторов:

  1. Хотя бы один вектор является линейной комбинацией других векторов.
vk=∑j=1j≠knλjvj\mathbf{v}_k = \sum^{n}_{\substack{j=1 \\ j \ne k}} \lambda_j \mathbf{v}_j
  1. Существуют такие скаляры λ1,λ2,...,λb\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_b помимо 0,0,...,00,0,...,0, что ∑j=1nλjvj=0\sum^{n}_{j=1}\lambda_j \mathbf{v}_j = \mathbf{0}. Мы также говорим, что 0\mathbf{0} является нетривиальной линейной комбинацией векторов.
0=∑j=1nλjvj\mathbf{0} = \sum^{n}_{j=1} \lambda_j \mathbf{v}_j
  1. Хотя бы один вектор является линейной комбинацией предыдущих векторов.
λkv=∑j=1k−1−λjvj⟺v=∑j=1k−1(−λjλk)vj\lambda_k \mathbf{v} = \sum^{k-1}_{j=1}- \lambda_j \mathbf{v}_j \Longleftrightarrow \mathbf{v} = \sum^{k-1}_{j=1} \left( -\frac{\lambda_j}{\lambda_k }\right) \mathbf{v}_j

Определения линейной НЕзависимости:

Следующие определения можно рассмотреть как инвресии альтернативных определений линейной зависимости векторов:

  1. Ни один из векторов не является линейной комбинацией других векторов.
  2. Не таких скаляров λ1,λ2,...,λb\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_b помимо 0,0,...,00,0,...,0, что ∑j=1nλjvj=0\sum^{n}_{j=1}\lambda_j \mathbf{v}_j = \mathbf{0}. Мы также говорим, что 0\mathbf{0} является тривиальной линейной комбинаций векторов.
  3. Ни один из векторов не является линейной комбинацией предыдущих векторов.

Линейная оболочка векторов

Линейная оболочка векторов это множество всех векторов, которые являются линейными комбинациями векторов из заданного набора.

Span(v1,v2,...,vn):={∑j=1nλjvj:λj∈R for all j∈[n]}\mathbf{Span}(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_n) := \left\{ \sum_{j=1}^{n} \lambda_j \mathbf{v}_j : \lambda_j \in \mathbb{R} \text{ for all } j \in [n] \right\}

Линейная оболочка векторов не меняется, если мы добавляем вектор, являющийся линейной комбинаций этих векторов к набору векторов:

Span(v1,v2,...,vn)=Span(v1,v2,...,vn,v)\mathbf{Span}(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_n) = \mathbf{Span}(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_n, \mathbf{v})

Каждый вектор может быть выражен в виде линейной комбинации стандартных единичных векторов:

u=∑i=1muiei\mathbf{u} = \sum^{m}_{i=1}u_i \mathbf{e}_i

К примеру в R3\mathbb{R}^3:

(u1u2u3)=u1(100)+u2(010)+u3(001)\begin{pmatrix*} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix*} = u_1 \begin{pmatrix*} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix*} + u_2 \begin{pmatrix*} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix*} + u_3 \begin{pmatrix*} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix*}
Скалярные продукты, длины и углы