Скалярный продукт, длины и углы

Скалярный продукт

\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} := v_1w_1 + v_2w_2 + ... + v_mw_m = \sum_{i=1}^m v_iw_i

Евклидова норма:

||\mathbf{v}|| := \sqrt{\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}}

\left\lVert \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_m \end{pmatrix} \right\rVert = \sqrt{v_1^2+v_2^2+...+v_m^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^m v_i^2}

\frac{\mathbf{v}}{||\mathbf{v}||} := \frac{1}{\lVert\mathbf{v}\lVert}\mathbf{v}

\mathbb{R}^3: \mathbf{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \mathbf{e}_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \mathbf{e}_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

\mathbb{R}^m: \mathbf{e}_i=\begin{pmatrix*} 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix*}

|\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}| \leq \lVert \mathbf{v} \rVert \, \lVert \mathbf{w} \rVert

\cos(\theta) = \left( \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\|} \right) \in [-1, 1]

Два вектора $\mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^m$ ортогональны, если:

\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = 0

Гиперплоскость это множество из векторов $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^m$ , которые ортогональны к $\mathbf{d}$ :

H_{\mathbf{d}} = \{\mathbf{v} \in \mathbb{R}^m : \mathbf{v} \cdot \mathbf{d} = 0 \}

\lVert \mathbf{v} + \mathbf{w} \lVert \leq \lVert \mathbf{v} \lVert + \lVert \mathbf{w} \lVert

Интуиция: идти из $0$ напрямую к $\mathbf{v+w}$ короче, чем огибая через $\mathbf{v}$ или $\mathbf{w}$ .

Транспозиция вектора выражена символов $\top$ :

\mathbf{v} = \begin{pmatrix*} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_m \end{pmatrix*} \ \Rightarrow \ \mathbf{v}^\top = (v_1 \ v_2 \ ... \ v_m)

$\mathbf{v}^\top$ называют ковектором вектора $\mathbf{v}$ . Более того, двойная трасопзиция возвращает оригинальный вектор:

(\mathbf{v}^\top)^\top = \mathbf{v}

Также с помощью транспозиции мы можем выразить скалярный продукт:

\mathbf{v}^\top \mathbf{w} = (v_1 \ v_2 \ ... \ v_m) \begin{pmatrix*} w_1 \\ w_2 \\ \vdots \\ w_m \end{pmatrix*} := \sum^{m}_{i=1} v_i w_i = \mathbf{v} \cdot \mathbf{w}

Выше описанное возможно, так как ковектор $\mathbf{v}^\top$ является функцией $\mathbf{v}^\top : \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}$

\mathbf{v}^\top : \mathbf{x} \mapsto \sum_{i=1}^{m} v_i x_i.