Контент
Линейная Алгебра
Четыре фундаментальных подпространства
Пространства векторов

Пространства векторов

В этой секции мы наконец сможем формально определить то, что такое пространства векторов, а также обсудим четыре фундаментальных подпространства, которые являются каноническими пространствами векторов, что глобально встречаются в мире линейной алгебры и могут полностью описать действие матрицы на пространство и его двойственное пространство. Для начала мы погрузимся в формальное определение того, что такое пространства и подпространства векторов, а также что такое вектора сами по себе.

Пространство векторов

Как мы уже знаем, вектора являются элементами определённого пространства, например R2\mathbb{R}^2 , R3\mathbb{R}^3 или Rm\mathbb{R}^m, где mm может быть любым натуральным числом. Это уже создает некое интуитивное понимание того, что R2\mathbb{R}^2 , R3\mathbb{R}^3 или Rm\mathbb{R}^m являются примерами классических многомерных пространств векторов. Однако, что же такое более формально пространства векторов и из чего они состоят?

Пространство векторов является абстракцией, которая позволяет нам описать множество элементов, называемых векторами, которые при сложение и скалярном произведение остаются внутри того же самого множества.

Например при сложении или скалярном умножении любых векторов в R3\mathbb{R}^3, полученные в результате этих операций вектора все также находятся в R3\mathbb{R}^3.

Очень интересно и то, что вектора могут быть абсолютно разными математическими объектами. Самое главное условие которое они должны выполнять, чтобы быть векторами - это быть элементами пространства векторов. Позже мы увидим примеры, где привычные нам векторы будут заменены на другие математические объекты. Но прежде чем мы перейдем к этому, важно формально дать определение тому, что такое пространство векторов.

Определение пространства векторов

Пространство векторов - это множество (векторов) VV с двумя операциями:

  • сложение (++)
  • умножение ( ⋅\cdot ).

Часто пространство векторов обозначается, как (V,+,⋅)\large (V,+,\cdot) , где операции являются функциями:

  • + : V×V→V+ \ : \ V \times V \rightarrow V функция сложения векторов,
  • ⋅ : R×V→V\cdot \ : \ \mathbb{R} \times V \rightarrow V функция скалярного произведения.

Наконец, эти операции должны удовлетворять последующие восемь аксиом векторных пространств.

Восемь аксиом векторных пространств

Пусть u,v,w∈Vu, v, w \in V — векторы, а λ,μ∈R\lambda, \mu \in \mathbb{R} — скаляры. Тогда должны выполняться следующие аксиомы:

  1. Коммутативность сложения
v+w=w+v \mathbf{v} + \mathbf{w} = \mathbf{w} + \mathbf{v}
  1. Ассоциативность сложения
u+(v+w)=(u+v)+w \mathbf{u} + (\mathbf{v + w}) = (\mathbf{u + v}) + \mathbf{w}
  1. Существование нулевого вектора: существует вектор 00, такой что
v+0=v \mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v}
  1. Существование противоположного вектора: для каждого vv существует вектор −v-v, такой что
v+(−v)=0 \mathbf{v} + (\mathbf{-v}) = 0
  1. Единичный скаляр
1⋅v=v 1 \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v}
  1. Совместимость умножения скаляров
(λμ)v=λ(μv) (\lambda \mu) \mathbf{v} = \lambda (\mu \mathbf{v})
  1. Дистрибутивность относительно сложения векторов
λ(v+w)=λv+λw \lambda (\mathbf{v + w}) = \lambda \mathbf{v} + \lambda \mathbf{w}
  1. Дистрибутивность относительно сложения скаляров
(λ+μ)v=λv+μv (\lambda + \mu) \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} + \mu \mathbf{v}

Пространство векторов RmR^m

До этого момента мы часто говорили, что Rm\mathbb{R}^m является пространством векторов, однако более формально и полноценно было бы обозначать это пространство, как

(Rm,+,⋅),(\mathbb{R}^m, +, \cdot),

где явно указаны операции сложения и скалярного умножения.

Такая запись подчёркивает, что векторное пространство определяется не только множеством элементов, но и операциями, заданными на нём.

Хоть это и более полная нотация, по той причине, что операции сложения и скалярного умножения векторов в Rm\mathbb{R}^m являются каноническими в математике, они часто остаются опущенными и используется сокращенная нотация Rm.\mathbb{R}^m.

Множество полиномов как пространство векторов

Так как VV может быть любым множеством, то теперь мы можем рассмотреть пространство векторов, где векторами являются полиномы с одной переменной. В этом случае мы также должны переопределить операции „++“ и „ ⋅\cdot “, чтобы они работали соответственно с вышеописанными восьмью аксиомами. Прежде чем мы перейдем к их переопределению, для начала стоит формально прояснить что такое полиномы.

Полином (многочлен)

Полином (многочлен) является суммой в виде

p=∑i=0mpixi,\mathbf{p} = \sum^{m}_{i=0} p_i x^i,

для какого-либо m∈Nm \in \mathbb{N}. В этой сумме, xx является переменной, а числа p0,p1,…,pm∈Rp_0, p_1, \dots, p_m \in \mathbb{R} являются коэффициентами p\mathbf{p}. Самый большой индекс ii, такой, что pi≠0p_i \neq 0, является степенью полинома. Если все pip_i равняются 00, то полином является нулевым 0=0\mathbb{0} = 0 и его степень определена как −1-1.

mm у нескольки различных полиномов не должно быть одинаковое. Мы можем легко иметь несколько разных полиномов, которые имеют свое значение для mm.

Пример полиномов с разными mm:
m=2→3x2+4x−6m=2 \quad \rightarrow \quad 3x^2 + 4x -6 m=1→2x+1m=1 \quad \rightarrow \quad 2x + 1

Для того, чтобы получить пространство векторов из множества полиномов нам необходимо определить для начала сложение полиномов.

Сложение полиномов

Так как полиномы являются математическими объектами, которые состоят из множества частей, мы не можем сократить проводимые над ними операции до единого числа. Однако, в случае сложения, мы можем складывать составляющие полиномов, которые являются одного и того же типа. В данном случае, одного типа значит, что они обладают одной экспонентой переменной xx.

Пример сложения
(3x2+4x−6)+(2x+1)=3x2+6x−5(3x^2 + 4x -6) + (2x + 1) = 3x^2 + 6x -5

Теперь мы готовы к формальному определению операций над полиномами.

Определение сложения полиномов

Пускай R[x]\mathbb{R}[x] будет являться множеством полиномов с одной переменной xx. При двух полиномах p=∑i=0mpixi\mathbf{p} = \sum_{i=0}^m p_i x^i и q=∑i=0nqixi\mathbf{q} = \sum_{i=0}^n q_i x^i, мы определяем p+q\mathbf{p+q}, как полином

p+q=∑i=0max⁡(m,n)(pi+qi)xi,\mathbf{p+q} = \sum_{i=0}^{\max(m,n)} (p_i + q_i)x^i,

где мы выставляем pi=0p_i = 0 для i>mi > m и qi=0q_i = 0 для i>ni > n.

Определение скалярного умножения полиномов

Для скаляра λ∈R\lambda \in \mathbb{R}, мы определяем λp\lambda \mathbf{p}, как полином

p=∑i=0m(λpi)xi.\mathbf{p} = \sum_{i=0}^{m} (\lambda p_i) x^i.

Заключение

Теперь с этими двумя описанными операциями определённых для множества полиномов с одной переменной, мы можем точно сказать, что

(R[x],+,⋅)(\mathbb{R}[x], +, \cdot)

является пространством векторов.

Пространство векторов m×nm \times n матриц

Ещё один пример пространства векторов - это множество матриц Rm×n\mathbb{R}^{m \times n}, где сложение A+BA+B и скалярное умножение λA\lambda A определены в стандартном виде. Тогда, в этом случае

(Rm×n,+,⋅)(\mathbb{R}^{m \times n}, +, \cdot)

является также пространством векторов.

Факты следующие из восьми аксиом

Благодаря восьми аксиомам, представленным ранее, мы можем убедиться о действительности и полноценности какого-либо векторного пространства. Но более того, из этих аксиом следует несколько фактов, которые не столь явно в них прослеживаются и требуют дополнительного доказательства.

Факт 1: Уникальность нулевого вектора

Пускай (V,+,⋅)(V, +, \cdot) будет векторным пространством. VV содержит только один нулевой вектор (вектор из аксиомы 3: v+0=v\mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v} для всех v\mathbf{v})

Доказательство

Рассмотрим два нулевых вектора 0\mathbf{0} и 0′\mathbf{0'}. Тогда

0′=0′+0(по аксиоме 3, так как 0 — нулевой вектор)=0+0′(по аксиоме 1, коммутативность)=0(по аксиоме 3, так как 0′ — нулевой вектор).\begin{aligned} \mathbf{0'} &= \mathbf{0'} + \mathbf{0} && \text{(по аксиоме 3, так как $\mathbf{0}$ — нулевой вектор)} \\ &= \mathbf{0} + \mathbf{0'} && \text{(по аксиоме 1, коммутативность)} \\ &= \mathbf{0} && \text{(по аксиоме 3, так как $\mathbf{0'}$ — нулевой вектор).} \end{aligned}

Следовательно, 0=0′\mathbf{0} = \mathbf{0'}.
□\square

Факт 2: Наличие уникального негативного вектора

Пускай (V,+,⋅)(V, +, \cdot) будет векторным пространством. Для всех v∈V\mathbf{v} \in V, существует лишь один негативный вектор −v-\mathbf{v} (вектор из аксиомы 4: v+(−v)=0\mathbf{v} + (\mathbf{-v}) = \mathbf{0}).

Доказательство

Напомним, что вектор u\mathbf{u} называется противоположным (отрицательным) к v\mathbf{v},
если

v+u=0.\mathbf{v} + \mathbf{u} = 0.

Пусть u\mathbf{u} и u′\mathbf{u'} — два противоположных вектора к vv, то есть

v+u=0,v+u′=0.\mathbf{v} + \mathbf{u} = 0, \qquad \mathbf{v} + \mathbf{u'} = 0.

Тогда

u′=u′+0=u′+(v+u)=(u′+v)+u=(v+u′)+u=0+u=u.\begin{aligned} \mathbf{u'} &= \mathbf{u'} + \mathbf{0} \\ &= \mathbf{u'} + (\mathbf{v} + \mathbf{u}) \\ &= (\mathbf{u'} + \mathbf{v}) + \mathbf{u} \\ &= (\mathbf{v} + \mathbf{u'}) + \mathbf{u} \\ &= \mathbf{0} + \mathbf{u} \\ &= \mathbf{u}. \end{aligned}

Следовательно, u=u′\mathbf{u} = \mathbf{u'}, то есть противоположный вектор единственен.

□\square

Заключение

Теперь мы видим полную картину относительно того, почему VV является не просто множеством векторов, но множеством, на котором определены операции сложения и умножения

(V,+,⋅).(V, +, \cdot).

Мы продолжим пользоваться сокращенной нотацией

V,\large V,

с пониманием, что операции сложения и скалярного умножения учтены и определены контекстом. То же самое касается и нулевого вектора, который мы записываем, как

0.\large 0.

Подпространства

Определние подпространства

Пускай VV является пространством векторов. Тогда непустое подмножество U⊆VU \subseteq V называется подпространством VV, если удовлетворяются последующие две аксиомы для всех v,w∈U\mathbf{v}, \mathbf{w} \in U и всех λ∈R\lambda \in \mathbb{R}.

  1. v+w∈U\mathbf{v} + \mathbf{w} \in U;

  2. λv∈U\lambda \mathbf{v} \in U.

Благодаря данным двум аксиомам, мы можем быть уверены, что в результате операций сложения и скалярного умножения, мы все равно остаемся внутри заданного подпространства. Это делает систему закрытой и удобной для различных математических задач.

Далее мы рассмотрим следствия этих двух аксиом.

Лемма 1 - Нулевой вектор является частью подпространства

Пускай U⊆VU \subseteq V будет подпространством векторного пространства VV. Тогда 0∈U\mathbf{0} \in U.

Доказательство

Возьмём произвольный u∈U\mathbf{u} \in U (предполагается, что U≠∅U \neq \varnothing).
По аксиоме подпространства 2 мы получаем

0u=0∈U.0 \mathbf{u} = \mathbf{0} \in U.

□\square

Умножение на нулевой скаляр дает нулевой вектор

Пускай VV будет пространством векторов, v∈V\mathbf{v} \in V. Тогда

0v=0.0 \mathbf{v} = \mathbf{0}.
Доказательство
0v=0v+0=0v+(0v+(−0v))=(0v+0v)+(−0v)=(0+0)v+(−0v)=0v+(−0v)=0.\begin{aligned} 0\mathbf{v} &= 0\mathbf{v} + \mathbf{0} \\ &= 0\mathbf{v} + \bigl(0\mathbf{v} + (-0\mathbf{v})\bigr) \\ &= (0\mathbf{v} + 0\mathbf{v}) + (-0\mathbf{v}) \\ &= (0 + 0)\mathbf{v} + (-0\mathbf{v}) \\ &= 0\mathbf{v} + (-0\mathbf{v}) \\ &= \mathbf{0}. \end{aligned}

□\square

Лемма 2 - Столбцовое пространство является подпространством

Пускай AA будет m×nm \times n матрицей. Тогда столбцовое пространство C(A)={Ax:x∈Rn}C(A) = \{Ax : x \in \mathbb{R}^n \} является подпространством Rm\mathbb{R}^m.

Доказательство

Пусть v,w∈C(A)\mathbf{v}, \mathbf{w} \in C(A). Тогда существуют векторы
x,y∈Rn\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n такие, что

v=Ax,w=Ay.\mathbf{v} = A\mathbf{x}, \qquad \mathbf{w} = A\mathbf{y}.

Тогда

A(x+y)=Ax+Ay=v+w,A(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = A\mathbf{x} + A\mathbf{y} = \mathbf{v} + \mathbf{w},

откуда v+w∈C(A)\mathbf{v} + \mathbf{w} \in C(A).

Тем самым выполнена аксиома подпространства 1.

Для аксиомы 2 пусть λ∈R\lambda \in \mathbb{R}. Тогда

A(λx)=λAx=λv,A(\lambda \mathbf{x}) = \lambda A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{v},

откуда λv∈C(A)\lambda \mathbf{v} \in C(A).

В обоих случаях первое равенство следует из линейности матричного преобразования. Из этого также следует, что R(A)=C(A⊤)R(A) = C(A^\top) является подпространством Rn\mathbb{R}^n. □\square

Лемма 3 - Ядро матрицы является подпространством

Пускай AA будет m×nm \times n матрицей. Тогда ядро N(A)={x∈Rn:Ax=0}N(A) = \{x \in \mathbb{R}^n : Ax = \mathbf{0} \} является подпространством Rn\mathbb{R}^n.

Подпространства являются пространствами векторов

Пускай VV будет пространством векторов, и UU его подпространством. Тогда UU является также пространством векторов, с теми же самыми операциями „++“ и „ ⋅\cdot “, как и VV.

Доказательство

Операции сложения и умножения на скаляр в UU — это ограничения соответствующих операций в VV. По аксиомам подпространства они замкнуты в UU.

Все аксиомы векторного пространства, кроме существования противоположного элемента, выполняются в UU, поскольку они выполняются в VV.

Пусть u∈U\mathbf{u} \in U. Тогда по замкнутости относительно умножения на скаляр имеем (−1)u∈U(-1)\mathbf{u} \in U, а
(−1)u=−u(-1)\mathbf{u} = -\mathbf{u}. Следовательно, противоположный вектор к u\mathbf{u} принадлежит UU.

Значит, UU является векторным пространством.

□\square

Подпространства R[x]\mathbb{R}[x]

Подпространство полиномов без свободного члена

Подпространством R[x]\mathbb{R}[x] может быть множество полиномов вида

p=∑i=1mpixi,\mathbf{p} = \sum^{m}_{i=1} p_i x^i,

в которых отсутствует свободный член (и определены операции сложения и умножения как было описано ранее). Сложение полиномов без свободного члена дает все также полином без свободного члена, также как и скалярное умножение. Пример полинома без свободного члена:

5x2+3x.5x^2+3x.

Подпространство квадратичных полиномов

Если мы рассмотрим множество квадричных полиномов вида p=p0+p1x+p2x2,\mathbf{p} = p_0 + p_1x + p_2 x^2, с теми же операциям сложения и умножения, то вновь получим подпространство R[x]\mathbb{R}[x]. Более того, мы учитываем, что не обязательно p2≠0p_2 \neq 0, а значит 6x6x тоже квадратичный полином.

Изоморфия с классическими векторами

Если мы посмотрим внимательнее на квадратичные полиномы, то увидим, что они определены тремя действительными числами: p0, p1, p2p_0, \ p_1, \ p_2, которые мы можем использовать также для описания вектора вида

vp=(p0p1p2)∈R3.\mathbf{v_p} = \begin{pmatrix} p_0 \\ p_1 \\ p_2 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3.

Более того, операции сложения и скалярного умножения полиномов идеально соответствуют операциям сложения и скалярного умножения классических векторов:

vp+q=vp+vq,vλp=λvp\mathbf{v_{p+q}} = \mathbf{v_{p}} + \mathbf{v_{q}}, \quad \mathbf{v_{\lambda p}} = \lambda \mathbf{v_{p}}

По этой причине, подпространство квадратичных полиномов — это просто R3\mathbb{R}^3 в другом представлении. В математике это называется изоморфизмом: эти векторные пространства изоморфны.

Подпространства Rm×n\mathbb{R}^{m \times n}

Здесь мы можем заметить, что Rm×n\mathbb{R}^{m \times n} не является кардинально новым векторным пространством, а просто изомофризмом к Rmn\mathbb{R}^{mn}. Это значит, что любую матрицу A∈Rm×nA \in \mathbb{R}^{m\times n} можно превратить в вектор длины mnmn, выписав её элементы подряд — например, по строкам или по столбцам. То есть различие лишь в том, что вектор это один столбец с mnmn значениями, а матрица A∈Rm×nA \in \mathbb{R}^{m\times n} это таблица с mnmn значениями, которые организованны в виде mm строк и nn столбцов.

Например, отображение по строкам задаётся так:

A=(a11…a1n⋮⋱⋮am1…amn)  ⟼  (a11,…,a1n,a21,…,amn)∈Rmn.A = \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} \;\longmapsto\; (a_{11}, \dots, a_{1n}, a_{21}, \dots, a_{mn}) \in \mathbb{R}^{mn}.

Это отображение является биективным, следовательно, Rm×n\mathbb{R}^{m\times n} и Rmn\mathbb{R}^{mn} изоморфны.

Подпространство симметричных матриц

Мы могли бы взять множество симметричных матриц вида

[abbd],\begin{bmatrix} a & b \\ b & d \end{bmatrix},

вместе со стандартными матричными операциями сложения и скалярного умножения. В этом случае мы можем заметить, что сложение двух симметричных матриц дает вновь симметричную матрицу, также как и скалярное умножение. Это означает симметричные матрицы формируют полноценное подпространство R2×2\mathbb{R}^{2\times 2}.

Подпространство матриц с нулевым следом матрицы

Теперь, рассмотрим множество матриц с нулевым следом, то есть вида

[abcd],  где a+d=0,\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}, \ \text{ где } a + d = 0,

вместе со стандартными матричными операциями сложения и скалярного умножения. Здесь тоже операции сложения и скалярного умножения над множеством заданных матриц вновь приводят к матрицам с нулевым следом. Следовательно, это также подпространство R2×2\mathbb{R}^{2\times 2}.

Пример множества матриц, которые не формируют подпространство

Если бы теперь мы взяли множество матриц со следом, который равен 11:

{A∈Rn×n  |  tr⁡(A)=1},\left\{ A \in \mathbb{R}^{n\times n} \;\middle|\; \operatorname{tr}(A) = 1 \right\},

то мы могли бы заметить, что такое множество исключает нулевую матрицу. Это нарушает ранее представленную лемму, которая гласит, что нулевой вектор является частью подпространства. Другой пример множества матриц - это матрицы с неотрицательными значениями:

{A∈Rm×n  |  aij≥0 для всех i,j}.\left\{ A \in \mathbb{R}^{m\times n} \;\middle|\; a_{ij} \geq 0 \ \text{для всех } i,j \right\}.

При скалярном умножении таких матриц на негативный скаляр, мы выходим из заданного множества, нарушая замкнутость подпространства.

Обратимые и обратные матрицыВычисление четырех фундаментальных подпространств