Контент
Линейная Алгебра
Матрица
Обратимые и обратные матрицы

Обратимые и обратные матрицы

Обратимые матрицы - это вид матриц, которые имеют обратную матрицу. Такая обратная матрица способна отменять ту матричную трансформацию, которая выполняется оригинальной матрицей.

Практика →\rightarrow обратимые и обратные матрицы используются повсеместно - они являются эффективным и важным инструментом для множества вычислительных процессов. В мире компьютерной графики, где выполняются такие преобразования сцены как поворот, масштабирование, перенос или изменение перспективы, без обратных матриц невозможно было бы выполнять обратные версии этих преобразований и нельзя было бы свободно переводить координаты из локальных в мировые и обратно. К тому же нельзя было бы создавать такие фундаментальные процессы, как ray casting, который в последнее время стал стандартом в мире виртуальной реальности и компьютерных игр. Более того, эти матрицы наблюдаются там, где линейная алгебра используется для машинного обучения, решения систем линейных уравнений для расчета математический моделей, механике конструкций, а также при калибровке датчиков и сенсоров.

Общая информация об обратимых и обратных матрицах

Пускай AA будет обратимой матрицей, тогда A−1\large A^{-1}будет нотацией для обозначения её обратной матрицы. Все, что делает матрица AA, матрица A−1A^{-1} отменяет. По аналогии с числами, матрица A−1A^{-1} - это многомерный аналог обратного числа 1/a1/a для ненулевого действительного числа aa, которое также иногда записывается как a−1a^{-1}.

Более формально говоря, обратимые матрицы позволяют привести к отменяемому преобразованию матрицы TA:x↦AxT_A : \mathbf{x} \mapsto A \mathbf{x}, которое мы можем выразить в виде обратной матрицы A−1A^{-1}.

Два главных свойства матриц, позволяющих им быть обратимыми

  • Обратимые матрицы всегда квадратные.
  • Обратимые матрицы всегда имеют линейно независимые столбцы.

Пример обратимой и ее обратной матрицы

A=[10025]A−1=[10052]A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{2}{5} \end{bmatrix} \qquad A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} \end{bmatrix}

Как мы видим в примере выше, столбцы AA (слева) линейны независимы, а сама матрица квадратная, поэтому существует обратная матрица A−1A^{-1} (справа).

Пример необратимой матрицы

A=[1212]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}

В этом примере столбцы матрицы линейной зависимы, поэтому даже несмотря на квадратную форму матрицы, она необратима.

Стандартное определение обратимых матриц

Пускай AA будет m×mm \times m матрицей. AA называется обратимой тогда, когда существует m×mm \times m матрица BB, которая "обращает" матрицу AA так, что

AB=IиBA=I.AB = I \quad \text{и} \quad BA = I.

Матрица BB называется обратной и записывается как A−1A^{-1}, соответственно

AA−1=IиA−1A=I.AA^{-1} = I \quad \text{и} \quad A^{-1}A = I.

Из вышеописанного также следует:

AA−1=A−1A=I.AA^{-1} = A^{-1}A = I.

Пример взаимодействия обратимой и ее обратной матрицы

Пускай

A=[10025]A−1=[10052],A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{2}{5} \end{bmatrix} \qquad A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} \end{bmatrix},

тогда

AA−1=[10025][10052]=[1001]=I.AA^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{2}{5} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I.

Пример матрицы, которая является обратной к самой себе - отражающая матрица

Пускай

R=[0110]  R−1=[0110],R = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \ \ R^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix},

тогда

R=R−1.R = R^{-1}.

Как мы видим из этого примера

RR−1=[0110][0110]=[1001]=I.RR^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I.

Именно такая матрица называется отражающей матрицей, и в данном случае она способна отражать положение объектов в двухмерном пространстве. У нее есть альтернатива как в трехмерном, так и в многомерном пространствах.

Свойства обратимых и обратных матриц

Обратимость обратной матрицы

Пускай AA будет обратимой m×mm \times m матрицей. Тогда A−1A^{-1} тоже обратима и

(A−1)−1=A.(A^{-1})^{-1} = A.
Доказательство

Если AA−1=A−1A=IAA^{-1} = A^{-1}A = I, то AA удовлетворяет условиям быть обратной к A−1A^{-1}. □\square

Комбинация обратных матриц тоже обратима

Пускай AA и BB будут обратимыми m×mm \times m матрицами. Тогда комбинация ABAB тоже обратима и

(AB)−1=B−1A−1.(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}.

Раскрытие скобок в данном случае создает обратные матрицы, расставляя их в инверсивном порядке

(ABC)−1=C−1B−1A−1.(ABC)^{-1} = C^{-1}B^{-1}A^{-1}.
Доказательство

Мы покажем, что B−1A−1B^{-1}A^{-1} соответствует условиям быть обратной к ABAB, следуя определению обратимых матриц:

B−1A−1(AB)=B−1(A−1A)B=B−1IB=B−1B=I. □B^{-1}A^{-1}(AB) = B^{-1}(A^{-1}A)B = B^{-1}I B = B^{-1}B = I. \ \square

Обратимость транспозиции

Пускай AA будет обратимой m×mm \times m матрицей. Тогда транспонированная матрица A⊤A^\top тоже обратима и

(A⊤)−1=(A−1)⊤.(A^\top)^{-1} = (A^{-1})^\top.
Доказательство

Так как AA обратима, существует матрица A−1A^{-1}, для которой

AA−1=A−1A=I.AA^{-1} = A^{-1}A = I.

Воспользуемся свойством транспонирования произведения:

(XY)⊤=Y⊤X⊤.(XY)^\top = Y^\top X^\top.

Транспонируем равенство AA−1=IAA^{-1}=I:

(AA−1)⊤=I⊤    ⇒    (A−1)⊤A⊤=I.(AA^{-1})^\top = I^\top \;\;\Rightarrow\;\; (A^{-1})^\top A^\top = I.

Аналогично, транспонируем равенство A−1A=IA^{-1}A=I:

(A−1A)⊤=I⊤    ⇒    A⊤(A−1)⊤=I.(A^{-1}A)^\top = I^\top \;\;\Rightarrow\;\; A^\top (A^{-1})^\top = I.

Мы получили, что матрица (A−1)⊤(A^{-1})^\top даёт единичную матрицу и при умножении слева, и при умножении справа на A⊤A^\top. Следовательно, она является обратной к A⊤A^\top:

(A⊤)−1=(A−1)⊤. □(A^\top)^{-1} = (A^{-1})^\top. \ \square

Количество опорных элементов и существование обратной матрицы

Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда при исключении Гаусса получается nn опорных элементов (с возможностью перестановки строк). Метод исключения позволяет решать уравнение Ax=bAx=b, не используя явно матрицу A−1A^{-1}.

Уникальность обратной матрицы

Пускай AA будет обратимой m×mm \times m матрицей. Тогда обратная матрица A−1A^{-1} уникальна (единственна).

Доказательство

Пускай AA обладает несколькими обратными, тогда BA=IBA = I и также AC=IAC = I. В этом случае, пользуясь ассоциатинвостью матриц, мы получаем

(BA)C=B(AC) ⇒ IC=BI⇒C=B. □(BA)C = B(AC) \ \Rightarrow \ IC = BI \Rightarrow C = B. \ \square

Уникальность решения Ax=bAx = b

Пускай AA будет обратимой m×mm \times m матрицей. Тогда единственное и только решение для Ax=bAx = b является x=A−1bx = A^{-1}b.

Уравнение Ax=0Ax = 0 имеет только нулевое решение

Предположим, существует ненулевой вектор xx такой, что Ax=0Ax = 0. Тогда столбцы матрицы AA линейно зависимы. Такая матрица не может быть обратимой. Ни одна матрица не может перевести 00 обратно в xx. Если AA обратима, то уравнение Ax=0Ax = 0 имеет только нулевое решение:

x=A−10=0.x = A^{-1}0 = 0.

Существования обратной у треугольной матрицы

Треугольная матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда ни один диагональный элемент did_i не равен нулю:

Если   A=[d1∗∗∗0d2∗∗00⋱∗000dn],тоA−1=[1/d1∗∗∗01/d2∗∗00⋱∗0001/dn].\text{Если }\; A = \begin{bmatrix} d_1 & * & * & * \\ 0 & d_2 & * & * \\ 0 & 0 & \ddots & * \\ 0 & 0 & 0 & d_n \end{bmatrix}, \quad \text{то}\quad A^{-1} = \begin{bmatrix} 1/d_1 & * & * & * \\ 0 & 1/d_2 & * & * \\ 0 & 0 & \ddots & * \\ 0 & 0 & 0 & 1/d_n \end{bmatrix}.

Детерминанта обратимых матриц

Пускай AA будет обратимой m×mm \times m матрицей, тогда

det⁡(A)≠0.\det(A) \neq 0.
Доказательство

Так как матрица AA обратима, существует матрица A−1A^{-1}, для которой

AA−1=I.AA^{-1} = I.

Возьмём детерминант от обеих частей равенства:

det⁡(AA−1)=det⁡(I).\det(AA^{-1}) = \det(I).

Используем мультипликативность детерминанта:

det⁡(A) det⁡(A−1)=1,\det(A)\,\det(A^{-1}) = 1,

поскольку det⁡(I)=1\det(I)=1. Тогда произведение det⁡(A)det⁡(A−1)\det(A)\det(A^{-1}) равно единице, а значит ни один из множителей не равен нулю. Следовательно,

det⁡(A)≠0. □\det(A)\neq 0. \ \square

Ядро обратимых матриц

Пускай AA будет обратимой m×mm \times m матрицей, тогда ядро такой матрицы содержит только нулевой вектор:

N(A)={0}.N(A) = \{\mathbf{0}\}.
Доказательство

Так как AA обратима, существует матрица A−1A^{-1}, для которой

A−1A=I.A^{-1}A = I.

Пусть x∈N(A)\mathbf x \in N(A). Тогда по определению ядра

Ax=0.A\mathbf x = \mathbf 0.

Домножим это равенство слева на A−1A^{-1}:

A−1Ax=A−10.A^{-1}A\mathbf x = A^{-1}\mathbf 0.

Получаем

Ix=0,I\mathbf x = \mathbf 0,

откуда следует x=0\mathbf x = \mathbf 0. Значит, в ядре матрицы AA содержится только нулевой вектор:

N(A)={0}. □N(A)=\{\mathbf 0\}. \ \square

Нахождение обратных матриц

Обратная матрица 1×11 \times 1

Нахождение обратной матрицы мерности 1×11 \times 1 весьма логично вытекает из определения обратных чисел:

A=[a]⇒A−1=[1a](если a≠0).A = \begin{bmatrix} a \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{a} \end{bmatrix} \quad (\text{если} \ a \neq 0).

Обратная матрица 2×22 \times 2

Нахождение обратной матрицы мерности 2×22 \times 2 является чуть более сложным, но все равно довольно понятным процессом:

A=[abcd]⇒A−1=1ad−bc[d−b−ca](если ad−bc≠0).A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \quad (\text{если} \ ad-bc \neq 0).

Также можно было бы это выразить при помощи детерминанты

A=[abcd]⇒A−1=1det⁡(A)[d−b−ca](еслиdet⁡(A)≠0).A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \quad (\text{если} \det(A) \neq 0).

Нахождение обратной матрицы любой мерности

При помощи расширенной матрицы [A∣I][A \mid I] и элиминации Гауса-Джордана мы можем эффективно найти обратную матрицу A−1A^{-1}. Если

[A∣I]  ⟶  [I∣B],[A \mid I] \;\longrightarrow\; [I \mid B],

то B=A−1B=A^{-1}. Если II не может быть получено слева расширенной матрицы, то матрица AA не обратима.

Пример элиминации Гауса-Джордана на матрице [A∣I][A \mid I] для получения A−1A^{-1}

Пусть

A=[1234],\large A = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right],

тогда мы создаем расширенную матрицу [A∣I][A \mid I] и выполняем на ней элиминацию Гауса-Джордана, для получения единичной матрицы на месте матрицы AA:

[A ∣ I]=[12103401]→ R2←R2−3R1 [12100−2−31]→ R2←−12R2 [12100132−12]→ R1←R1−2R2 [10−210132−12]=[I ∣ A−1].\begin{align*} [A\,|\,I] = &\left[ \begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 1 \end{array} \right] \\ \\ \xrightarrow{\,R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1\,} &\left[ \begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -3 & 1 \end{array} \right] \\[6pt] \\ \xrightarrow{\,R_2 \leftarrow -\frac12 R_2\,} &\left[ \begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \tfrac32 & -\tfrac12 \end{array} \right] \\ \\ \xrightarrow{\,R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2\,} &\left[ \begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & \tfrac32 & -\tfrac12 \end{array} \right] = [I\,|\,A^{-1}]. \end{align*}

В результате элиминации, преобразованная часть единичной матрицы II трансформируется в A−1A^{-1}:

A−1=[−2132−12].\large A^{-1} = \left[ \begin{array}{cc} -2 & 1 \\ \tfrac32 & -\tfrac12 \end{array} \right].
Линейная (не)зависимостьПространства векторов