Вычисление четырех фундаментальных подпространств

Четыре фундаментальных подпространства в виде таблицы:

Два подпространства получаются из матрицы $A$ ( $\in \mathbb{R}^{m \times n}$ ) с рангом $r$ , а остальные два из ее транспонированной версии $A^\top$ .

Наименование	Обозначение	Размерность	Подпространство
Строчное пространство	$C(A^\top)$	$r$	$C(A^\top) \subseteq \mathbb{R}^n$
Столбцовое пространство	$C(A)$	$r$	$C(A) \subseteq \mathbb{R}^m$
Нулевое простраснтво	$N(A)$	$n-r$	$N(A) \subseteq \mathbb{R}^n$
Левое нулевое пространство	$N(A^\top)$	$m-r$	$N(A^\top) \subseteq \mathbb{R}^m$

Мы можем увидеть в таблице выше, что ранг матрицы позволяет нам вычислить размерность для каждого из четырех фундаментальных подпространств. Из этого следует, что ранг и размерность очень тесно связаны. По этой причине мы можем перевести матрицу в RREF (Reduced Row Echelon Form/ступенчатый вид), так как в ней мы сможем отчетливо увидеть ранг матрицы, а также найти базисы для образуемых матрицей подпространств.

Теперь рассмотрим все четыре подпространства на примере матрицы $R$ , которая уже приведена в ступенчатый вид из произвольной матрицы

A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 5 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 3 & 12 & 0 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 3 & 6 & 2 & 23 & -1 & 21 \end{bmatrix},

благодаря элиминации гауса-джордана:

m = 4, \quad n = 6, \quad r = 3

R = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 5 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

\text{опорные строки: } 1,2,3

\text{опорные столбцы: } 1,3,5

Можно заметить, что ранг матрицы $rank(A)=3$ , так как количество опорных элементов равняется трём.

Перейдем к подробному разбору каждого из подпространств.

Строчное пространство $C(A^\top)$

Строчное пространство является множеством всех линейных комбинаций строк матрицы $A$ . Опорные строки матрицы $R$ указывают на номера строк матрицы $A$ , которые формируют базис для $C(A^\top)$ .

Пример В случае ранее заданной матрицы $R$ , базис формируется из $1,2,3$ строк матрицы $A$ . Соотвественно наш базис, это

\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 5 & 1 & 5 \end{pmatrix} , \ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3 & 12 & 0 & 21 \end{pmatrix} , \ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \right\} .

Все строки матрицы $A$ , соответсвующие ненулевым строкам матрицы $R$ , образуют базис для строчного пространства $C(A^\top)$ .

Столбцовое пространство $C(A)$

Аналогично, столбцовое пространство является множеством всех линейных комбинаций столбцов матрицы $A$ . Опорные столбцы матрицы $R$ указывают на номера столбцов матрицы $A$ , которые формируют базис для $C(A)$ .

Пример:

Возвращаясь к матрице $R$ , мы можем заметить, что базис столбцового пространства формируется из $1,3,5$ столбцов матрицы $A$ :

\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \right\} .

Все столбцы матрицы $A$ , соотвествующие столбцам с опорными элементами матрицы $R$ , образуют базис для столбцового пространства $C(A)$

Нулевое пространство $N(A)$

Нулевое пространство является множеством всех векторов $x$ , которые матрица $A$ отправляет в ноль: $Ax = 0$ . В матрице $R$ столбцы без опорных элементов соответствуют свободным переменным. Такие переменные могут принимать любые значения, тем самым определяя множество решений системы линейных уравнений. Именно через свободные переменные строится базис нулевого пространства.

Свободные переменные матрицы $R$ выражают базис нулевого пространства $N(A)$ . Размерность такого базиса соответствуют количеству свободных переменных: $n-r$ .

Пример:

R= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 5 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \qquad x = \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\\x_6 \end{pmatrix}.

Решаем однородную систему

Rx = 0.

Из строк матрицы получаем систему уравнений:

\begin{cases} x_1 + 2x_2 + 5x_4 + 3x_6 = 0, \\ x_3 + 4x_4 + 7x_6 = 0, \\ x_5 + 2x_6 = 0. \end{cases}

Опорные столбцы: $1,3,5$ , поэтому свободные переменные:

x_2,\; x_4,\; x_6.

Выразим ведущие переменные:

x_1 = -2x_2 - 5x_4 - 3x_6, \qquad x_3 = -4x_4 - 7x_6, \qquad x_5 = -2x_6.

Положим параметры:

x_2 = s, \qquad x_4 = t, \qquad x_6 = u.

Тогда общее решение:

x = \begin{pmatrix} -2s - 5t - 3u \\ s \\ -4t - 7u \\ t \\ -2u \\ u \end{pmatrix} = s \begin{pmatrix} -2\\1\\0\\0\\0\\0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -5\\0\\-4\\1\\0\\0 \end{pmatrix} + u \begin{pmatrix} -3\\0\\-7\\0\\-2\\1 \end{pmatrix}.

Следовательно,

\ker(R)= \operatorname{span} \left\{ \begin{pmatrix}-2\\1\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-5\\0\\-4\\1\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-3\\0\\-7\\0\\-2\\1\end{pmatrix} \right\}, \qquad \dim(N(R))=3.

Левое нулевое пространство $N(A^\top)$

Левое нулевое пространство это множество всех векторов $y$ , которые выполняют $A^\top y = 0$ . (Здесь мы можем заметить, что все вектора левого нулевого пространства ортогональны всем векторам столбцового пространства.) Левое нулевое пространство находится точно тем же самым методом что и стандартное нулевое пространство, просто для транспонированной матрицы.

При матрице $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ ранга $r$ , размерность ее левого нулевого пространства равна $m-r$ .

Итог

В результате подробного разбора четырёх фундаментальных подпространств матрицы $A$ , мы можем заметить, что

$C(A^\top)$ и $N(A)$ являются подпространствами $R^n$ ,
$C(A)$ и $N(A^\top)$ являются подпространствами $R^m$ .

Все эти четыре подпространства полностью характеризуют структуру линейного преобразования, задаваемого матрицей $A$ , и описывают все возможные направления действия и ограничения данного преобразования.

Пространства векторов Ортогональность векторов и подпространств

Вычисление четырех фундаментальных подпространств

Строчное пространство C(A⊤)C(A^\top)C(A⊤)

Столбцовое пространство C(A)C(A)C(A)

Пример:

Нулевое пространство N(A)N(A)N(A)

Пример:

Левое нулевое пространство N(A⊤)N(A^\top)N(A⊤)

Итог

Строчное пространство $C(A^\top)$

Столбцовое пространство $C(A)$

Нулевое пространство $N(A)$

Левое нулевое пространство $N(A^\top)$